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BeitragVerfasst: Mi 15. Mär 2017, 20:01
von Bernhard
Timm hat geschrieben:Integriert man, statt einfach Eigen-Abstände Koordinaten-Abständen näherungsweise gleich zusetzten, so erhält man für den Eigen-Abstand benachbarter Schalen den in meinem letzten Beitrag erwähnten Ausdruck für $\Delta s$. Weshalb dieser nicht auch für den freien Fall gilt, erschließt sich mir nach wie vor nicht. Wir betrachten doch eine eingefrorene Situation, in der 2 Punkte nicht wissen, ob sie statisch sind oder frei fallen. Welchen Denkfehler habe ich da?

Hier hat man das Problem, dass es verschiedene Abstandsbegriffe in der ART gibt. Man kann hier entweder den raumartigen Anteil der zeitartigen Metrik verwenden oder Lichtstrahlen betrachten, die dann über die Lichtlaufzeit einen Abstand messen können.

Koordinatenabstände sind trivial.

Re:

BeitragVerfasst: Do 16. Mär 2017, 11:07
von Timm
Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Integriert man, statt einfach Eigen-Abstände Koordinaten-Abständen näherungsweise gleich zusetzten, so erhält man für den Eigen-Abstand benachbarter Schalen den in meinem letzten Beitrag erwähnten Ausdruck für $\Delta s$. Weshalb dieser nicht auch für den freien Fall gilt, erschließt sich mir nach wie vor nicht. Wir betrachten doch eine eingefrorene Situation, in der 2 Punkte nicht wissen, ob sie statisch sind oder frei fallen. Welchen Denkfehler habe ich da?

Hier hat man das Problem, dass es verschiedene Abstandsbegriffe in der ART gibt. Man kann hier entweder den raumartigen Anteil der zeitartigen Metrik verwenden oder Lichtstrahlen betrachten, die dann über die Lichtlaufzeit einen Abstand messen können.

Koordinatenabstände sind trivial.

Es geht um den radialen Eigenabstand (also raumartig), als Funktion des Koordinatenabstands. Ich versuche nochmal klarer zu formulieren.

Fest steht, daß der Eigenabstand benachbarter Schalen (sind stationär) ermittelt durch Integration des differentiellen Abstands mit den Grenzen $r_A$ und $r_B$ durch
$\displaystyle \Delta s \displaystyle = \displaystyle \left[\sqrt{r\left(r-r_{s}\right)}+r_{s}\tanh^{-1}\sqrt{1-\frac{r_{s}}{r}}\right]_{r_{A}}^{r_{B}}$
gegeben ist.

Dies sollte nmM allgemein gelten, also auch für den Eigenabstand zweier Freifaller mit den Koordinaten $r_A$ und $r_B$?
Stimmst Du dem zu?

BeitragVerfasst: Do 16. Mär 2017, 19:19
von Bernhard
Timm hat geschrieben:Stimmst Du dem zu?

Nein. Wenn Du die Eigenlänge über das raumartige Linienelement berechnest, so bleibt die Eigenlänge nur dann invariant, wenn an den Koordinatentransformationen die zeitartige Koordinate t nicht beteiligt ist. Die Transformation vom stationären Beobachter zum frei fallenden Beobachter gehört nicht zu dieser Untergruppe.

Re: Re:

BeitragVerfasst: Fr 17. Mär 2017, 09:09
von Ich
Timm hat geschrieben:Dies sollte nmM allgemein gelten, also auch für den Eigenabstand zweier Freifaller mit den Koordinaten $r_A$ und $r_B$?
Was da noch fehlt ist Längenkontraktion durch Bewegung, reine SRT. Mal dir ein Diagramm, die beiden Schalen seien durch senkrechte Linien in ihrem wahren Ruheabstand charakterisiert. Die Freifaller durch zwei parallele schräge Linien. Jetzt kommt's drauf an, wenn sie die Schalen gleichzeitig im ruhenden System passieren, dann ist ihr Abstand kleiner als der Abstand der Schalen. Passieren sie sie im eigenen System gleichzeitig, erscheint ihnen der Schalenabstand kleiner als ihr Abstand untereinander.

Re: Re:

BeitragVerfasst: Fr 17. Mär 2017, 09:46
von Timm
Ich hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Dies sollte nmM allgemein gelten, also auch für den Eigenabstand zweier Freifaller mit den Koordinaten $r_A$ und $r_B$?
Was da noch fehlt ist Längenkontraktion durch Bewegung, reine SRT.

Ah, danke, ja damit ist alles klar. Die Kontraktion geht dann bei Annäherung eng benachbarter Schalen an den EH (fast) gegen Null.

Re: Re:

BeitragVerfasst: So 19. Mär 2017, 09:15
von Timm
Timm hat geschrieben: Integriert man, statt einfach Eigen-Abstände Koordinaten-Abständen näherungsweise gleich zusetzten, so erhält man für den Eigen-Abstand benachbarter Schalen den in meinem letzten Beitrag erwähnten Ausdruck für $\Delta s$. Weshalb dieser nicht auch für den freien Fall gilt, erschließt sich mir nach wie vor nicht.

Demnach gibt es nicht den radialen Eigenabstand zwischen Freifallern. Man erhält ihn analog zu dem über die Schalen, s.o., oder über den radialen Anteil des Expansionsskalars, dann aber mit nicht demselben Ergebnis.

Damit habe ich nicht gerechnet, aber das ist eben der Unterschied zum FRW-Modell, bei dem der Eigenabstand zwischen mitbewegten Objekten eindeutig ist.

BeitragVerfasst: Fr 24. Mär 2017, 12:54
von Bernhard
Seite 4, Bernhard hat geschrieben:ich habe nun ein paar Antworten gefunden. Die Polstelle im Nenner dieser Gleichung für r = r_S kommt von den Koordinaten, weil die t-Komponente des Tangentenvektors an die Geodäte hier divergiert. Ich habe deshalb die gleiche Rechnung noch einmal in Gullstrand-Painleve-Koordinaten gemacht und bekomme (erstmal ohne Garantie auf Fehlerfreiheit) das folgende Ergebnis:
$a^r = - \frac{\alpha c^2 r_S}{r^3}V^r$

Bei dem zitierten Ergebnis wurde nur $R_{ttr}^r$ berücksichtigt. Es gibt aber auch noch $R_{rtr}^r$ und diese Komponente führt dazu, dass das alpha im Ergebnis verschwindet. Somit haben wir nun mindestens drei Rechenwege für die radiale Gezeitenkraft mit jeweils dem gleichen schon bekannten Ergebnis.

EDIT: Die Frage nach dem verdrehten Vorzeichen läßt sich nun auch beantworten. Folgt man beispielsweise der Herleitung der Deviationsgleichung von hier: https://www.univie.ac.at/physikwiki/ima ... riptum.pdf , Seite 15 und 16, so ergibt sich die Darstellung des Riemann-Tensors $R_{jkl}^i$ gemäß Gleichung (2.17). Diese Darstellung ist unabhängig von der Signatur der Metrik. In der Literatur wird trotzdem eine Darstellung mit einem Minus-Zeichen vorweg verwendet. In der Quelle, die 'Ich' weiter oben angegeben hatte wurde offenbar diese Konvention verwendet und ich habe diese Konvention aus dem "Fließbach" übernommen.

"Der frei fallende Wassertropfen wird damit nun beim freien Fall endlich wieder in die Länge gezogen und nicht platt gedrückt."