Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. Loch?


Die Relativitätstheorie basiert auf dem Relativitätsprinzip von Galileo. Hier ist Raum, Fragen zur Relativität zur diskutieren.

Ich

Anti-Proton

Beiträge: 677

Registriert: Do 10. Jun 2010, 10:13

Beitrag Fr 17. Feb 2017, 10:44

Re: Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. L

Timm hat geschrieben:Aha, damit klärt sich einiges. Das gilt aber doch wohl streng nur für infinitesimale Abstände, oder?
Ja, das ist das, was Bernhard vorgestern Abend sagen wollte. Man kann zwar ein beliebig großes d in die Formel einsetzen und erhält ein Ergebnis, aber das hat dann nichts mit der Realität zu tun.

Proton

Beiträge: 581

Registriert: Sa 12. Jun 2010, 20:08

Beitrag Fr 17. Feb 2017, 12:50

Re: Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. L

Ich hat geschrieben: Man kann zwar ein beliebig großes d in die Formel einsetzen und erhält ein Ergebnis, aber das hat dann nichts mit der Realität zu tun.

Der 2 m Mann will ja wissen, was ihn tatsächlich erwartet. Ich hatte eigentlich auf Hinweise gehofft, wie man das strikt rechnen würde, nicht im Detail, nur prinzipiell. Oder wenn nicht strikt, dann zumindest näher an der Realität.

Ich

Anti-Proton

Beiträge: 677

Registriert: Do 10. Jun 2010, 10:13

Beitrag Fr 17. Feb 2017, 14:59

Re: Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. L

Für r>>2 Meter gelten die Formeln durchaus. Kannst einfach einsetzen und ausrechnen. Strikt würde man das nie rechnen, höchstens als Simulation auf einem Supercomputer. Und auch nur, wenn man wirklich muss.
Edit: Ich hab das mal überschlagen, wenn du vom Schwerpunkt ausgehst, dann machst du am EH eines stellaren SL einen Fehler in der Größenordnung von einem Millionstel. Sollte doch reichen, denke ich.

Anti-Neutron

Beiträge: 921

Registriert: So 16. Jan 2011, 18:11

Beitrag Fr 17. Feb 2017, 15:38

Hallo zusammen,

ich habe mir nun alles nochmal sauber aufgeschrieben und bekomme nun für die transversale Beschleunigung die Formel $a = \frac{\Delta l c^2}{2r_S^2}$

$\Delta l$ ist dabei einfach eine andere Bezeichnung für $V^3$.

Die Beschleunigung hat noch ein falsches Vorzeichen, was aber vielleicht an der "falschen" Signatur(+,+,+,+) der Metrik in der verlinkten Quelle für die Komponenten des Riemann-Tensors.

Ansonsten findet sich praktisch die gleiche Formel auch in dem bekannten Buch von T. Fließbach. Die Auswertung ist trivial, wenn man für die Sonne r_S = 3000m verwendet und für das supermassive SL unserer Milchstraße r_S = 4.0e6 * 3000m. Man bekommt damit die transversalen Gezeitenkräfte beim Überqueren des EH, für einen quer zur Flugrichtung liegenden Astronauten der Länge $\Delta l$ .
Freundliche Grüße, B.

Proton

Beiträge: 581

Registriert: Sa 12. Jun 2010, 20:08

Beitrag Sa 18. Feb 2017, 11:56

Re:

Bernhard hat geschrieben:Abschließend sollte man noch die Zerreisskräfte für einen 2m langen "Kosmonauten" am EH ausrechnen, wenn M = Sonnenmasse, bzw. M = 4.0e6 Sonnenmassen.

Ich komme da auf stattliche 10^10 m/s².

Anti-Neutron

Beiträge: 921

Registriert: So 16. Jan 2011, 18:11

Beitrag Sa 18. Feb 2017, 14:33

Timm hat geschrieben:Ich komme da auf stattliche 10^10 m/s².

Passt. Die stellaren SLs sind, ganz im Gegensatz zu den Supermassiven, schon vor dem EH ziemlich "gewalttätig".
Freundliche Grüße, B.

Proton

Beiträge: 581

Registriert: Sa 12. Jun 2010, 20:08

Beitrag Sa 18. Feb 2017, 21:42

Re: Fällt ein Körper mit Lichtgeschwindigkeit in ein schw. L

Stimmt, wir könnten ja mal ausrechnen, bei welcher Masse 3 Thomapyrin noch ausreichen. :D

Anti-Neutron

Beiträge: 921

Registriert: So 16. Jan 2011, 18:11

Beitrag So 19. Feb 2017, 08:33

Timm hat geschrieben:3 Thomapyrin

Stimmt, wir sind noch nicht fertig. Ich habe nun auch das Ergebnis in den anderen Richtungen ausgerechnet und bekomme:

$a^2 = - \frac{c^2 r_S}{\alpha r^3}V^2$
$a^3 = \frac{c^2 r_S}{2r^3}V^3$
$a^4 = \frac{c^2 r_S}{2r^3}V^4$

Die zweite Gleichung (d.h. die Gleichung für die zweite Komponente der Gezeitenkraft) ist im Gegensatz zur dritten und vierten Gleichung geschwindigkeitsabhängig. Ich habe deshalb die - oben angegebene - Geschwindigkeit für den frei fallenden Raumfahrer, der in unendlicher Entfernung vom SL ruht, verwendet.

Der Vergleich zeigt, dass man die Vektorkomponenten $V^{\mu}$, wie 'Ich' beschrieben hat, wohl doch nicht direkt als Eigenlänge nehmen darf. Allerdings passt dann die vierte Gleichung nicht so recht zu der Dritten, weil die Vierte dann winkelabhängig wird. -> ?
Das Vorzeichen ist bei allen drei Gleichungen genau entgegen der Erwartung. -> ?
Freundliche Grüße, B.

kurzlebiges Kaon

Beiträge: 408

Registriert: Di 8. Jun 2010, 22:05

Beitrag So 19. Feb 2017, 16:50

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:3 Thomapyrin

Stimmt, wir sind noch nicht fertig. Ich habe nun auch das Ergebnis in den anderen Richtungen ausgerechnet und bekomme:

$a^2 = - \frac{c^2 r_S}{\alpha r^3}V^2$
$a^3 = \frac{c^2 r_S}{2r^3}V^3$
$a^4 = \frac{c^2 r_S}{2r^3}V^4$

Die zweite Gleichung (d.h. die Gleichung für die zweite Komponente der Gezeitenkraft) ist im Gegensatz zur dritten und vierten Gleichung geschwindigkeitsabhängig. Ich habe deshalb die - oben angegebene - Geschwindigkeit für den frei fallenden Raumfahrer, der in unendlicher Entfernung vom SL ruht, verwendet.

Der Vergleich zeigt, dass man die Vektorkomponenten $V^{\mu}$, wie 'Ich' beschrieben hat, wohl doch nicht direkt als Eigenlänge nehmen darf. Allerdings passt dann die vierte Gleichung nicht so recht zu der Dritten, weil die Vierte dann winkelabhängig wird. -> ?
Das Vorzeichen ist bei allen drei Gleichungen genau entgegen der Erwartung. -> ?

Ist das ein Tippfehler unter dem Bruchstrich bei

$a^2 = - \frac{c^2 r_S}{\alpha r^3}V^2$

Was genau für Richtungen sind denn diese

$a^2 $a^3 $a^4

kurzlebiges Kaon

Beiträge: 408

Registriert: Di 8. Jun 2010, 22:05

Beitrag So 19. Feb 2017, 17:06

Re:

Bernhard hat geschrieben:
Timm hat geschrieben:Ich komme da auf stattliche 10^10 m/s².

Passt. Die stellaren SLs sind, ganz im Gegensatz zu den Supermassiven, schon vor dem EH ziemlich "gewalttätig".

Was nicht verwunderlich ist, da die Gezeitenkräfte am EH umgekehrt proportional zum Quadrat der Masse des SL´s sind.

Anti-Neutron

Beiträge: 921

Registriert: So 16. Jan 2011, 18:11

Beitrag So 19. Feb 2017, 18:36

Dagobert hat geschrieben:Ist das ein Tippfehler unter dem Bruchstrich bei

$a^2 = - \frac{c^2 r_S}{\alpha r^3}V^2$

Nein. Im Nenner steht $\alpha \cdot r^3$ mit $\alpha := \left(1 - \frac{r_S}{r}\right)$.

Was genau für Richtungen sind denn diese $a^2, a^3, a^4$

Man kann über V zwei infinitesimal benachbarte Punkte definieren. Der erste Punkt fliegt entlang einer Geodäten. Der zweite Punkt wird so gesetzt, dass am betrachteten Raumzeitpunkt der vektorielle Abstand zwischen den Punkten gerade gleich V ist. Dann lässt man beide Punkte entlang ihrer Geodäten fliegen und betrachtet die zeitliche Änderung von V. Die zweiten Zeitableitungen nach der Eigenzeit des ersten Punktes ergeben den Vektor a.

Man kann das mehr schlecht als recht auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Deviationsgleichung nachlesen. Anstelle von $\frac{D^2V^{\mu}}{D\tau^2}$ verwenden wir hier der Einfachheit halber $a^{\mu}$, also $a^{\mu} := \frac{D^2V^{\mu}}{D\tau^2}$
Freundliche Grüße, B.

Anti-Neutron

Beiträge: 921

Registriert: So 16. Jan 2011, 18:11

Beitrag Di 7. Mär 2017, 15:07

Hi,

Bernhard hat geschrieben:$a^2 = - \frac{c^2 r_S}{\alpha r^3}V^2$

ich habe nun ein paar Antworten gefunden. Die Polstelle im Nenner dieser Gleichung für r = r_S kommt von den Koordinaten, weil die t-Komponente des Tangentenvektors an die Geodäte hier divergiert. Ich habe deshalb die gleiche Rechnung noch einmal in Gullstrand-Painleve-Koordinaten gemacht und bekomme (erstmal ohne Garantie auf Fehlerfreiheit) das folgende Ergebnis:
$a^2 = - \frac{\alpha c^2 r_S}{r^3}V^2$
was aber schon mal ganz interessant ist. Das alpha kommt vom Hochziehen des ersten Index des Riemann-Tensors. Die t-Komponente des Tangentenvektors an die Geodäte für den frei fallenden Beobachter bleibt bei diesen Koordinaten "äußerst" gutmütig, d.h. $\frac{dt}{d\tau} = c$

Demnach ändern die radialen Gezeitenkräfte für den frei fallenden Raumfahrer am EH gerade ihr Vorzeichen und verschwinden am EH komplett! Vor dem EH wird der Raumfahrer gestaucht und hinter dem EH in die Länge gezogen.

In der theta und phi-Richtung ändert sich bei den Gezeitenkräften nichts. Die Rechnung in GP-Koordinaten liefert das gleiche Ergebnis wie bei den Schwarzschild-Koordinaten.

Der Vergleich zeigt, dass man die Vektorkomponenten $V^{\mu}$, wie 'Ich' beschrieben hat, wohl doch nicht direkt als Eigenlänge nehmen darf. Allerdings passt dann die vierte Gleichung nicht so recht zu der Dritten, weil die Vierte dann winkelabhängig wird. -> ?

Hier kann man argumentieren, dass die Koordinateneffekte nicht nur bei V, sondern auch bei a auftreten, also gleichermaßen auf beiden Seiten der Gleichung, d.h. die Koordinateneffekte kürzen sich raus und es muss hier zwischen Eigenlänge und Koordinaten-Länge nicht unterschieden werden.
Freundliche Grüße, B.

Ich

Anti-Proton

Beiträge: 677

Registriert: Do 10. Jun 2010, 10:13

Beitrag Di 7. Mär 2017, 16:04

Re:

Bernhard hat geschrieben:Demnach ändern die radialen Gezeitenkräfte für den frei fallenden Raumfahrer am EH gerade ihr Vorzeichen und verschwinden am EH komplett! Vor dem EH wird der Raumfahrer gestaucht und hinter dem EH in die Länge gezogen.
Da stimmt was nicht. Das alpha muss weg. Mit d=V²/alpha klappt's doch, oder (bis auf einen Faktor 2)?

Anti-Neutron

Beiträge: 921

Registriert: So 16. Jan 2011, 18:11

Beitrag Di 7. Mär 2017, 17:39

Ich hat geschrieben:Das alpha muss weg.

Ja, schon. Aber wie soll man das "anstellen"? Ich habe die Rechnung mehrfach überprüft. Das Problem kommt vom Tangentenvektor an die Geodäte.

Mit d=V²/alpha klappt's doch, oder (bis auf einen Faktor 2)?

Das hängt davon ab, welcher Quelle man vertraut. T. Fließbach, glaube ich diesbezüglich am allerwenigsten, weil da (bei allem Respekt) eigentlich nur anschauliche Begründungen gegeben werden, die eher an Newton erinnern. Im MTW werden Gezeitenkräfte mehr oder weniger mit dem Riemann-Tensor identifiziert, was nicht schlecht, aber auch nicht eindeutig ist. Das Beste bleibt die Deviationsgleichung, weshalb ich am liebsten diese Gleichung verwende.

Kurz: Ein Faktor 2 wäre OK. Das Problem ist (in radialer Richtung) aber doch etwas schwerwiegender.
Freundliche Grüße, B.

Proton

Beiträge: 581

Registriert: Sa 12. Jun 2010, 20:08

Beitrag Di 7. Mär 2017, 19:01

Re:

Bernhard hat geschrieben: Vor dem EH wird der Raumfahrer gestaucht und hinter dem EH in die Länge gezogen.


Hmm,hast du hier radial mit tangential vertauscht?
Die radiale Streckung ist doch unabhängig davon, ob oder nicht die zentrale Masse ein SL ist. Jedenfalls außerhalb des EH.
VorherigeNächste

Zurück zu Relativitätstheorie und Kosmologie

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 6 Gäste

cron
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
Designed by ST Software for PTF.
Deutsche Übersetzung durch phpBB.de